1: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;4;2;-2;-1;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)

a: \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left(n+3+n-1\right)\left(n+3-n+1\right)\)

\(=4n\left(2n+2\right)⋮8\)

1,

A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
 A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120

a) n + 3 chia hết cho n

Vì n chia hết cho n nên để n + 3 chia hết cho n thì 3 chia hết cho n

Từ đó suy ra : n \(\in\)Ư ( 3 ) = { 1 ; 3 }

b) 35 - 12n chia hết cho n ( n < 3 )

Vì 12n chia hết cho n nên để 35 - 12n chia hết cho n thì 35 chia hết cho n

từ đó suy ra : n \(\in\)Ư ( 35 ) = { 1 ; 5 ; 7 ; 35 }

Mà n < 3 nên n = 1

Vậy n = 1

c) 16 - 3n chia hết cho n + 4 ( n < 6 )

theo bài ra ta có : 

16 - 3n chia hết cho n + 4

28 . ( 3n + 12 ) chia hết cho n + 4

28 - 3 . ( n + 4 ) chia hết cho n + 4

vì 3 . ( n + 4 ) chia hết cho n + 4 nên để 28 - 3 . ( n + 4 ) chia hết cho n + 4 thì 28 chia hết cho n + 4

Từ đó suy ra : n + 4 \(\in\)Ư ( 28 ) = { 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 }

mà n < 6 nên n = { 1 ; 2 ; 4 }

vậy n = { 1 ; 2 ; 4 }

d) 5n + 2 chia hết cho 9 - 2n ( n < 5 )

ta có : 9 - 2n chia hết cho 9 - 2n nên 5 . ( 9 - 2n ) chia hết cho 9 - 2n ( 1 )

Vì 5n + 2 chia hết cho 9 - 2n nên 2 . ( 5n + 2 ) chia hết cho 9 - 2n ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có :

5 . ( 9 - 2n ) + 2 . ( 5n + 2 ) chia hết cho 9 - 2n

=> 45 - 10n + 10n + 4 chia hết cho 9 - 2n

45 + 4 chia hết cho 9 - 2n

49 chia hết cho 9 - 2n

để 5n + 2 chia hết cho 9 - 2n thì 49 chia hết cho 9 - 2n

Vậy 9 - 2n \(\in\)Ư ( 49 ) = { 1 ; 7 ; 49 }

Vì 9 - 2n \(\le\)9 nên 9 - 2n \(\in\){ 1 ; 7 }

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}9-2n=7\\9-2n=1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\\n=4\end{cases}}}\)

a) n + 3 chia hết cho n ( n thuộc N )

Ta có : n chia hết cho n

           n + 3 chia hết cho n

=> 3 chia hết cho n

=> n thuộc Ư ( 3 )

=> n thuộc { 1 ; 3 }

a)n+3\(⋮\)n b)35-12n\(⋮\)n

n\(⋮\)n 12n\(⋮\)n

n+3-n\(⋮\)n 35-12n-12n\(⋮\)n

3\(⋮\)n 35\(⋮\)n

\(\Rightarrow\)n={1;3} vì n<3 nên :

\(\Rightarrow\)n={1}

Làm tượng tự với các câu sau

Có n + 3 chia hết cho n

=> n chia hết cho n

=> 3 chia hết cho n

=> n thuộc Ư(3)

n = { 1 ; 3}

\(a,\frac{7n+3}{n}\)

\(\Rightarrow3⋮n\)Vì \(7n⋮n\)

\(\Rightarrow n\inƯ\left(3\right)=\left(1;3\right)\)

\(b,\frac{12n-1}{4n+2}\)

\(=\frac{12n+6-7}{4n+2}\)

\(=\frac{3\left(4n+2\right)}{4n+2}-\frac{7}{4n+2}\)

Để \(12n-1⋮4n+2\)

\(\Rightarrow7⋮4n+2\)

\(\Rightarrow4n+2\inƯ\left(7\right)=\left(1;7;-1;-7\right)\)